Öklid (Euclides) (Öklid (Euclides) Kimdir? - Öklid (Euclides) Hakkında)

Nehir

Nehir

Bölüm Yöneticisi
Rönesans sonrası Avrupa'da
Kopernik'le başlayan
Kepler
Galileo ve Newton'la 17. yüzyılda doruğuna ulaşan bilimsel devrim
kökleri Helenistik döneme uzanan bir olaydır. O dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus
güneş-merkezli astronomi düşüncesinde Kopernik'i öncelemişti; Arşimet yaklaşık iki bin yıl sonra gelen Galileo'ya esin kaynağı olmuştu; Öklid çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil
matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen
yetkin bir örnekti.

Öklid
M.Ö. 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt
geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen
ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan
okutulan Elementler'in
kimi yetersizliklerine karşın
değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir.

Egeli matematikçi Öklid'in kişisel yaşamı
aile çevresi
matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet Enstitüsü'nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazan olmasıdır. Eğitimini Atina'da Platon'un ünlü akademisinde tamamladığı sanılmaktadır. O akademi ki giriş kapısında
"Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!" levhası asılıydı.

Öklid'in bilimsel kişiliği
unutulmayan iki sözünde yansımaktadır: Dönemin kralı I. Ptolemy
okumada güçlük çektiği Elementler'in yazarına
"Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?" diye sorduğunda
Öklid "Özür dilerim
ama geometriye giden bir kral yolu yoktur" der. Bir gün dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır
"Hocam
verdiğiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?" diye sorduğunda
Öklid kapıda bekleyen kölesini çağırır
"Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver
vaktinin boşa gitmediğini görsün!" demekle yetinir.

Öklid haklı olarak "geometrinin babası" diye bilinir; ama geometri onunla başlamış değildir. Tarihçi Herodotus (M.Ö. 500) geometrinin başlangıcını
Nil vadisinde yıllık su taşmalarından sonra arazi sınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların çalışmalarında bulmuştu. Geometri "yer" ve "ölçme" anlamına gelen "geo" ve "metrein" sözcüklerinden oluşan bir terimdir. Mısır'ın yanı sıra Babil
Hint ve Çin gibi eski uygarlıklarda da gelişen geometri o dönemlerde büyük ölçüde
el yordamı
ölçme
analoji ve sezgiye dayanan bir yığın işlem ve bulgudan ibaret çalışmalardı. Üstelik ortaya konan bilgiler çoğunlukla kesin olmaktan uzak
tahmin çerçevesinde kalan sonuçlardı.
 
Nehir

Nehir

Bölüm Yöneticisi
Örneğin
Babilliler dairenin çemberini çapının üç katı olarak biliyorlardı. Bu öylesine yerleşik bir bilgiydi ki; pi'nin değerinin 3 değil
22/7 olarak ileri sürenlere
bir tür şarlatan gözüyle bakılıyordu. Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: M.Ö. 1800 yıllarına ait Rhind papürüslerinde onların pi'yi yaklaşık 3.1604 olarak belirledikleri görülmektedir; ama Mısırlıların bile her zaman doğru sonuçlar ortaya koyduğu söylenemez. Nitekim
kesik kare piramidin oylumunu (hacmini) hesaplamada doğru formülü bulan Mısırlılar
dikdörtgen için doğru olan bir alan formülünün
tüm dörtgenler için geçerli olduğunu sanıyorlardı.

Aritmetik ve cebir alanında Babilliler
Mısırlılardan daha ilerde idiler. Geometride de önemli buluşları vardı. Örneğin
"Pythagoras Teoremi" dediğimiz
bir dik açılı üçgende dik kenarlarla hipotenüs arasındaki bağıntıya ilişkin önerme "bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı
hipotenüsün karesine eşittir" buluşlarından biriydi. Ne var ki
doğru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal ispat aşamasına geçilememişti henüz.

Ege'li Filozof Thales'in (M.Ö. 624-546)
geometrik önermelerin dedüktif yöntemle ispatı gereğini ısrarla vurguladığı
bu yolda ilk adımları attığı bilinmektedir. Mısır gezisinde tanıştığı geometriyi
dağınıklıktan kurtarıp
tutarlı
sağlam bir temele oturtmak istiyordu. İspatladığı önermeler arasında; ikizkenar üçgenlerde taban açılarının eşitliği; kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşıt açıların biribirine eşitliği vb. ilişkiler vardı.

Klasik çağın "Yedi Bilgesi"nden biri olan Thales'in açtığı bu yolda
Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde
matematik büyük ilerlemeler kaydetti
sonuçta Elementler'de işlenildiği gibi
oldukça soyut mantıksal bir dizgeye ulaştı. Pythagoras
matematikçiliğinin yanı sıra
sayı mistisizmini içeren gizliliğe bağlı bir tarikatın önderiydi. Buna göre; sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliğiydi; ruhun yücelip tanrısal kata erişmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

Buluş ve ispatlarıyla matematiğe önemli katkılar yapan Pythagorasçılar
sonunda inançlarıyla ters düşen bir buluşla açmaza düştüler. Bu buluş
karenin kenarı ile köşegenin ölçüştürülemeyeceğine ilişkindi.
gibi
bayağı kesir şeklinde yazılamayan sayılar
onların gözünde gizli tutulması gereken bir skandaldi. Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklükler nasıl olabilirdi? (Pythagorasçıların tüm çabalarına karşın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı
daha sonra tanınmış bilgin Eudoxus oluşturduğu
irrasyonel büyüklükler için de geçerli olan
Orantılar Kuramı'yla giderir).
 
Nehir

Nehir

Bölüm Yöneticisi
Öklid
Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi
onun için de önemli olan soyut düşünceler
düşünceler arasındaki mantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan
ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik. Kaleme aldığı Elementler
kendisini önceleyen Thales
Pythagoras
Eudoxus gibi
bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuştu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış
sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir dizgeye dönüşmüştü. Artık önermelerin doğruluk değeri
gözlem veya ölçme verileriyle değil
ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti.

Kuşkusuz bu
Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediği demek değildi. Tam tersine
değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin
bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiği; ama Elementler'in
eğreti olarak değindiği bazı örnekler dışında
uygulamalara yer vermediği de bilinmektedir.Öklid'in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri
bugün de rastladığımız bir geleneğe dönüşmüştür.

Gerçekten
özellikle seçkin matematikçilerin gözünde
matematik şu ya da bu işe yaradığı için değil
yalın gerçeğe yönelik
sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşün uğraşı olduğu için önemlidir.

Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de
sınama-yanılma
tahmin
sezgi
içedoğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme
değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma
temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı
doğrulama bağlamında belirgindir. Teoremlerin ispatı
büyük ölçüde kuralları belli
ussal bir işlemdir; ama sorulabilir: Öklid neden
geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş
bunları ispatlayarak
mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir?

Öklid'i bu girişiminde güdümleyen motiflerin ne olduğunu söylemeye olanak yoktur; ancak
Helenistik çağın düşün ortamı göz önüne alındığında
başlıca dört noktanın öngörüldüğü söylenebilir:

1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek;

2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım
aksiyom veya postulatları) ve çıkarım kurallarım belirtik kılmak;

3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazandırmak (Başka bir deyişle
teoremlerin öncüllere görecel zorunluluğunu
yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek);
 
Nehir

Nehir

Bölüm Yöneticisi
4) Geometriyi
ampirik genellemeler düzeyim aşan soyut-simgesel bir dizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mısırlılar ile Babilliler kenarları 3
4
5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin
dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3
4
5 uzunluklarına özgü olmadığını
başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu. Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde
salt entellektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim
Egeli bilginler somut örnekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine
bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışındaydılar. Onlar
kenar uzunlukları a
b
c diye belirlenen üçgeni ele almakta
üçgenin ancak
eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedirler).

Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra
beşi "aksiyom" dediği genel ilkeden
beşi de "postulat" dediği geometriye özgü ilkeden oluşan
on öncüle yer vermiştir (Öncüller
teoremlerin tersine ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir). Dizge tüm yetkin görünümüne karşın
aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle
"nokta"
"doğru"
vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi
belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların
belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması
dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu.

Ne var ki
matematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç döneminde
bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler
giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim
18. yüzyılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir. Üstelik dizgenin irdelenmesi
beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. "Öklid-dışı" diye bilinen bu geometriler
sağduyumuza aykırı da düşseler
kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geometrisi
artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa
Öklid'in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez.

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell'ın şu sözlerinde Öklid'in özlü bir değerlendirmesini bulmaktayız: "Elementler'e bugüne değin yazılmış en büyük kitap gözüyle bakılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekâsının en yetkin anıtlarından biridir. Kitabın Greklere özgü kimi yetersizlikleri yok değildir
kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik
öncüllerini oluşturan varsayımları yoklama olanağı yoktur. Bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa
19. yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler
bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini
bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir."

Gene Genel Rölativite Kuramı'nda Öklid geometrisini değil
Riemann geometrisini kullanan Einstein'ın
Elementler'e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: "Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse
kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!"
 
Üst