Polinomlar Konu Anlatımı 10. Sınıf

Konu, '24 Saat' kısmında dilek öğretmen tarafından paylaşıldı.

  1. Lise 2 10. Sınıflar Polinomlar Konu Anlatımı
    Polinomlar Konu Anlatımı Lise 2
    Polinomlar Konu Anlatımı 10. sınıf

    Sevgili öğrencilerim "Polinomlar Konu Anlatımı " bu haftaki ödevlerinizden bu konumuzda Polinomlar hakkında bilgilere sahip olacağız.

    ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

    P(x, y) = x3y2 2x4 y3 + xy + x y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

    Bu polinomların derecesi x ve y nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
    der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

    Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y nin dereceler toplamıdır.
    Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

    Örnek
    P(x, y) = 2x2y4 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

    Çözüm:
    2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
    -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
    x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
    -y5 teriminin derecesi 5
    Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

    Örnek
    P(x) = x3 3x2 + 4x 2 ise
    P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

    Çözüm:
    P(2) = 23 3.22 + 4.2 2
    = 8 12 + 8 2 = 2 bulunur.
    P(0) = 03 3.02 + 4.0 2 = - 2 bulunur.
    P(1) = 13 3.12 + 4.1 2
    = 1 3 + 4 2 = 0 bulunur.

    Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar Nelerdir?
    a0, a1, a2, ....an-1, an R ve n N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n inci dereceden bir polinom denir.

    1. an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
    2. an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
    3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
    4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
    5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
    P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
    P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
    6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma Reel Katsayılı Polinom denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

    Örnek:
    P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n N kaç olmalıdır?

    Çözüm:
    5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3 ün bölenleri olmalıdır.
    3 ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 0 den n 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
    P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
    P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

    SIFIR POLİNOMU

    P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
    an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

    Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

    Örnek
    P(x) = (m + 3)x2 + (n 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
    m + 3 = 0, n 5 = 0, t = 0 ;
    m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.


    SABİT POLİNOM

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

    0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
    x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

    Örnek P(x) = (a 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) = A 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

    İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

    Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

    n. dereceden,
    A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve
    B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
    A(x) = B(x) an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

    Örnek
    A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
    B(x) = (b - 1)x3 3x2 (2c 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

    Çözüm
    A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
    B(x) = (b 1)x3 - 3x2 (2c 3)x + olduğundan;
    A(x) = B(x) 5 = b 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c 3), d =
    b = 6, a = -4, c = , d = dir.


    POLİNOM FONKSİYONLARI

    P : R R
    x P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

    P : R R
    x P(x) = 5x3 + 2x2 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

    Örnek
    P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x-1) i bulmak için P(x) de x yerine x-1 i yazalım.
    P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
    = x2 2x + 1 + 2x 2 + 1 = x2
    P(x-1) = x2 olarak bulunur.

    II: Yol:
    Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1 i yazalım.
    P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

    Örnek
    P(x) polinomu için,
    P(x+2) = x3 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
    H = x + 2 h 2 = x i yerine yazalım.
    P(h 2 + 2) = (h 2)3 2(h 2)2 + 4
    P(h) = (h 2)3 2(h 2)2 + 4
    P(x) = (x 2)3 2(x 2)2 + 4 bulunur.


    POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
    P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
    P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

    Örnek
    P(x) = 2x4 + 5x3 3x2 + x 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

    Çözüm
    P(x) de x = 1 i yerine yazalım.
    P(1) = 2.14 + 5.13 3.12 + 1-1
    = 2 + 5 3 + 1 1 = 4 bulunur.

    POLINOMLARDA İŞLEMLER

    Polinomlarda Toplama İşlemi

    A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
    B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
    Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
    A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

    Örnek
    P(x) = x3 + 2x2 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

    Çözüm
    P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
    = x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir.

    Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

    1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
    2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
    3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
    4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
    5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.


    İki Polinomun Farkı

    P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
    P(x) Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

    Örnek
    A(x) = 5x4 + x3 3x2 + x + 2 ve

    B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) B(x) farkını bulalım.

    Çözüm
    B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 2x2 - dir.
    A(x) B(x) = A(x) + (-B(x))
    = (5x4 + x3 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 2x2 - )
    = (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 2)x2 + x + (2 - )
    = 10x4 x3 5x2 + x - olur.
    Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
    Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

    Polinomlarda Çarpma İşlemi

    A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) in her terimi B(x) in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
    anxn ile bkxk teriminin çarpımı
    anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
    Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7
    Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
    Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

    Örnek
    A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
    C(x) = x2 x + 1 polinomları veriliyor.
    a) A(x) . B(x)
    b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

    Çözüm
    a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
    = 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
    = 3x6 + 3x5 + x2 + x

    b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 x + 1)
    = x2 . x2 x2 . x + x2 . 1 + x . x2 x . x + x . 1
    = x4 x3 + x2 + x3 x2 + x + 1
    = x4 + x + 1 bulunur.

    Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

    1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
    2. Değişme özelliği vardır.
    3. Birleşme özelliği vardır.
    4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
    5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
    Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
    6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
    A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)


    Polinomlar Halkası

    Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;
    1. (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur.
    2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
    3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
    O halde (R[x], + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.


    Polinomlarda Bölme İşlemi

    A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

    A(x) B(x)
    T(x)

    .
    -___________
    R(x)

    Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
    Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

    1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
    2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
    DerB(x) < derA(x)

    3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
    Der R(x) < der B(x)

    4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
    5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

    der = der A(x) der B(x) dir.


    Örnek
    P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
    Q(x) = x2 + 3x 1 polinomuna bölelim.

    x4 2x2 + x + 5 x2 + 3x 1
    _____________ = x2
    x2- 3x + 8

    ± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
    -__________________
    -3x3 x2 + x + 5 = 8
    ±3x3 ± 9x2 ±3x
    -_________________
    8x2 2x + 5
    ± 8x2 ± 24x ±8
    -_________________
    - 26x + 13

    Bölüm : x2 3x + 8
    Kalan : -26x + 13


    Horner Metodu

    Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

    Örnek
    Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x a) ya bölelim.

    Çözüm
    1. Bölünen polinomun katsayıları x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
    2. Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3 ün katsayısı 0 olur.
    3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.
    4. a, p ile çarpılır, q nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

    Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.
    px3 + qx2 + rx + s, x a = 0 ise x = a

    Örnek
    P(x) = x4 x3 + 3x + 4 polinomunun x 2 ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

    Çözüm
    P(x) in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x 2 = 0 x = 2 yi yerine yazalım.

    Bölümün Katsayıları Kalan


    -1 0 3 4
    2 1 2 2 4 14
    1 1 2 7 18

    Bölümün Katsayıları Kalan

    Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
    Kalan R(x) = 18 bulunur.




    Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

    Bir P(x) Polinomunun x a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
    Bir P(x) polinomunun (x a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun. (x a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k P(a) = k bulunur.

    Bir P(x) polinomunun (x a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x a = 0 x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

    Örnek
    P(x) = x2 3x + 21 polinomunun (x 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

    Çözüm
    X 2 = 0 x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 3 . 2 + 21 = 19 olur.

    Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
    Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.
    Ax + b = 0 x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

    Örnek
    P(x) = x3 4x + 1 polinomunun 2x 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.

    Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
    P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine a yazılır.
    P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine a yazılır.
    P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine a yazılır.

    Örnek
    P(x) = x4 x3 + x2 + 7x 1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 x2 = -2) polinomda x2 yerine 2 yazarız.
    P(x) = x2 . x2 x2 . x + x2 + 7x 1 olur.
    Kalan : (-2) ( -2) (-2) . x 2 + 7x 1 = 4 + 2x + 7x 3 = 9x + 1 bulunur.

    Bir Polinomun (x a) (x b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
    Bir P(x) polinomunun (x a) . (x b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x b) ile bölünür.

    Örnek
    Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    (x + 3) (x 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. Bölüm özdeşliği yazılırsa,
    P(x) = (x + 3) (x 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.
    P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.
    P(-3) = (-3 + 3) (-3 2) . B (-3) 3a +b P(-3) = -3a + b
    P(2) = (2 + 3) (2 2) . B(2) + a +b P(2) = 2a +b olur.

    -3a + b = -5
    2a + b = 4
    denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

    Örnek
    Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan 2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz.

    Çözüm
    Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
    P(x) = (x2 + 2) (x 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,
    x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
    x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.
    bx + c 2a = -2x + 6 b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
    a 2 + c = 7 a + c = 9 dur.
    c - 2a = 6
    a + c = 9
    Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Oyleyse, K(x) = x2 2x + 8 olur.


    Alıntıdır
  2. Misafir

    Misafir Misafir

    Teşekkürler ama anlamadım :(
  3. astegmen

    astegmen Misafir

  4. Misafir

    Misafir Misafir

  5. hm hm hm

    hm hm hm Misafir

    hm hm hm hmmm hm hm hmmmm Hm Hm birde anlasam çok cici olacak

Sayfayı Paylaş

Misafirler bu sayfaya şu kelimeleri arayarak geldiler:

  1. sıfır polinomu konu anlatımı